Apakah 0,999… = 1 ?

Apakah 0,999999… = 1 ?

Pernah kah pertanyaan ini muncul di benak kalian?
Mungkin ada di antara kalian yang berpendapat bahwa 0,999…=1
Dan mungkin ada juga yang berkata bahwa kedua bilangan tersebut berbeda. Untuk itu mari kita bahas lebih dalam lagi.

Pada kenyataannya 0,999…=1 dengan syarat angka 9 terus berulang hingga tak terbatas. Bagaimana ini bisa terjadi? Mari perhatikan!

Kita tahu bahwa 1/3 = 0,333… (dengan angka 3 yang terus menerus berulang secara tak terbatas). Sekarang kita kalikan kedua bilangan diatas dengan angka 3



Dari kedua persamaan diatas dapat kita simpulkan bahwa 0,999… = 1

Keliru jika kita beranggapan bahwa kedua bilangan tersebut berbeda, karena menganggap bahwa angka awalnya berbeda, namun tidak menyadari bahwa angka-angka sesudahnya berulang secara tak terbatas. Terbatas dan tak terbatasnya pengulangan angka ini sangat mempengaruh nilai bilangan tersebut.

Jika misalnya bilangan X = 0,999… dengan angka 9 sebanyak tepat 1 juta buah, maka tentu dapat dipastikan bahwa bilangan ini lebih kecil dari 1, sebab terdapat bilangan lain yang lebih besar dari A tetapi lebih kecil dari 1, misalnya bilangan Y = 0,999… dengan angka 9 sebanyak 1 milyar.

Jadi, pada 0,999… dengan angka 9 berulang tak terbatas dan 1 tidak terdapat bilangan lain yang berbeda dari keduanya. Adakah bilangan yang lebih besar dari 0,999…dengan angka 9 berulang tak terbatas dan lebih kecil dari 1?

Memang sulit untuk menyatakan dengan kata-kata yang jelas, namun mudah dipahami karena memang tidak mungkin ada bilangan antara kedua bilangan tersebut.

Dengan cara yang lebih teknis kita dapat menunjukkan bahwa kedua bilangan tersebut benar-benar sama adalah dengan menggunakan konsep rata-rata dua bilangan. Misal 4 dan 7, maka pasti ada bilangan di antara 4 dan 7. Salah satu bilangan tersebut adalah bilangan di tengah-tengah (rata-rata hitung) yaitu (4+7)/2 = 6,5.

Sekarang kita lihat apakah antara 0,999…. dan 1 terdapat bilangan lain di antara keduanya?

Jadi, rata-rata hitung kedua bilangan ternyata sama dengan bilangan itu sendiri. Jadi, kesimpulannya adalah kedua bilangan mula-mula bernilai sama.

Dengan cara lain kita dapat menggunakan limit,
Representasi 0,999… dengan angka 9 berulang tak terbatas tidak lain menyatakan suatu bentuk deret tak hingga sebagai berikut.





Jadi, jelas bahwa 0,999… = 1.

Dan akan lebih terlihat mudah lagi dengan cara
Misalkan

Diperoleh :

Kurangkan kedua persamaan tersebut :

Dengan penjelasan diatas sudah yakin kan kalian bahwa 0,999… sam dengan 1. Memang sekilas dua bilangan tersebut seperti berbeda, tapi kenyataannya representasi-representas diatas telah membuktikannya.

Bahan bacaan
Ask Dr. Math. 0,9999… = 1. Drexel University. dalam http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html diakses 10 oktober 2011.
Bogomolny, Alexander. 0,999999… equal 1? Web Cut the Kot. dalam http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/999999.shtml diakses 10 oktober 2011.
Wikipedia. 0,999… . dalam http://en.wikipedia.org/wiki/0,999… diakses 2 oktober 2011.

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s